Discrete random variable 이산확률변수
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요약
A random variable is called discrete if it’s range (the set of values that it can take) is either finite or countably infinite.
discrete random variable
이산확률변수
애초에 확률변수는 함수다. 확률변수들 중에서 함숫값이 불연속적인 값일 경우를 discrete r.v.라고 한다.
PMF
확률변수의 함숫값이 특정한 값과 매칭될 확률이다.
보통 $ P_{X}(x)=P(X=x)$ 로 표기하는 데, large X와 small x가 자주 헷갈린다.
확률변수로 사용되는 것은 주로 upper case character 이며 lower case character는 주로 real value를 표현한다.
그래서 손으로 수학문제를 풀때 $ P_{Z}(z) \ \ P_{X}(x)$ 등을 서술하게 될 경우 매우 헷갈린다.
개인적으로 확률변수와 real value에 전혀 다른 character를 사용하는 것을 추천한다.
$P_{f(y)}(a)=P(f(y)=a)$
애당초 확률변수가 every possible outcome -> value 의 함수였으므로
PMF는 every possible outcome 에 배정된(assigned) value가 a일 확률을 나타낸다고 할 수 있겠다.
즉 $P_{f(y)}(a)$는 probability of event {f(y)=a} 라는 것.
expectation, variance, moments…..
random variable 이란 every possible event -> value 의 함수이다. 보통 X 혹은 Y 혹은 Z가 represent 하게 된다.
probability mass function 이란 PMF 이며 discrete random variable이 특정한 값들과 matching 될 확률이다.
P(random variable = a certain value) <=> P(Y=b)
discrete random variable 은 set of values a random variable can take is finite 를 뜻한다.
따라서 discrete random variable 에서도 아래와 같은 표현이 나오기도 한다.
P(random variable = a certain value) <=> $P(Y \in S)$
discrete random variable 과 PMF 가 있다. 이 두가지로 사칙연산을 거치면 every possible event에게 의미를 가진 값을 뽑아낼 수 있다.
즉
Expectation = f(discrete random variable, PMF)
variance = function of discrete random variable and PMF
라는 말을 하고 싶다.
예시
동전을 두번 던진다.
앞면이 나올 확률은 3/4이며, 첫 번째 토스와 두 번째 토스는 독립이다.
위의 예시를 아래와 같이 표현할 수 있는데
이 경우 $P_{X}(k)$ 는 아래와 같이 이해된다.
동전을 던져서 뒷면이 2회 나오는 event에 real number 0 를 배정한다.
이 event의 확률은 $(1/4)^{2}$이다.
동전을 던져서 뒷면이 1회 나오는 event에 real number 1 를 배정한다.
이 event의 확률은 $2(1/4)(3/4)$이다.
동전을 던져서 앞면이 2회 나오는 event에 real number 2 를 배정한다.
이 event의 확률은 $(3/4)^{2}$이다.
그리고 이 예시에서 기댓값과 분산을 구하면 아래와 같다.
event 에 배정된 real number의 가중 평균은 expectation
event 에 배정된 real number의 분포정도는 standard deviation
conditional PMF
누누히 말했듯 조건부확률에서는 전체집합이 변한다.